Očekávaný výnos a riziko při podnikání
Na stránce Očekávaná hodnota u hazardních her v příkladech jsme si řekli, že očekávaná hodnota nalézá široké využití i v běžném životě, například v podnikání nebo při investování. Demonstrujme si to na následujícím příkladu, který nám umožní rozhodnout se, který ze dvou možných výrobků je lépe vyrábět a realizovat na trhu s přihlédnutím k očekávanému výnosu a riziku.
Výchozí předpoklady příkladu
Předpokládejme, že máme omezené množství finančních prostředků, a proto můžeme vyrábět pouze jeden ze dvou výrobků: buď výrobek A, nebo výrobek B (stejný postup lze však použít pro libovolný počet výrobků). Hlavním kritériem pro výběr výrobku je maximum výnosu. Protože máme pouze dva výrobky, vybereme výrobek s vyšším očekávaným výnosem.
Poznámka: v podnikání a investování operujeme s pojmem výnos, proto je zde očekávaný výnos (expected return) pouze jiným označením očekávané hodnoty (expected value – EV).
→ Očekávaný výnos a riziko při investování, sestavení investičního portfolia
Dále uvažujeme tři možné varianty vývoje, tzv. scénáře (scenarios), a sice, že výrobek bude velmi úspěšný, normálně úspěšný, či neúspěšný. Každý ze scénářů může nastat s určitou pravděpodobností, kterou odhadneme na základě našeho subjektivního názoru, zkušeností či průzkumu trhu (součet pravděpodobností musí být roven 1). Podobně odhadneme i scénářům odpovídající výnosy v procentech za rok.
Výchozí údaje (scénáře vývoje, jejich pravděpodobnosti a odhadované výnosy) a výpočty (očekávaného výnosu a rizika) shrneme do následující tabulky. Který z výrobků A, nebo B budeme preferovat a proč?
| Výrobek A | Pravděpodobnost pn | Výnos xn | pnxn | xn-E(x) | [xn-E(x)]2 | pn[xn-E(x)]2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| úspěšný | 0,3 | 20 % | 6 | 10 | 100 | 30 |
| normální | 0,5 | 12 % | 6 | 2 | 4 | 2 |
| neúspěšný | 0,2 | -10 % | -2 | -20 | 400 | 80 |
| Očekávaný výnos E(x) | 10 % | Rozptyl σ2 | 112 | |||
| Riziko měřené směrodatnou odchylkou σ (sigma) | 10,58 % | |||||
| Výrobek B | Pravděpodobnost pn | Výnos xn | pnxn | xn-E(x) | [xn-E(x)]2 | pn[xn-E(x)]2 |
| úspěšný | 0,1 | 42 % | 4 | 32 | 1024 | 102,4 |
| normální | 0,4 | 22 % | 9 | 12 | 144 | 57,6 |
| neúspěšný | 0,5 | -6 % | -3 | -16 | 256 | 128,0 |
| Očekávaný výnos E(x) | 10 % | Rozptyl σ2 | 288,0 | |||
| Riziko měřené směrodatnou odchylkou σ (sigma) | 16,97 % | |||||
Pravděpodobnosti scénářů a předpokládané výnosy
Jak údaje v tabulce interpretovat? Bude-li výrobek A velmi úspěšný, dosáhneme jeho prodejem výnosu 20 %, tento scénář však nastane s pravděpodobností 0,3 (nebo 30 %, chcete-li). Výrobek A bude normálně úspěšný s pravděpodobností 0,5 a výnosem 12 % a neúspěšný s pravděpodobností 0,2 a záporným výnosem –10 %.
Vidíme, že pravděpodobnost je určitou váhou, kterou scénáři přikládáme (součet vah se musí rovnat 1, resp. 100 %). Očekávaný výnos E(x) je váženým průměrem výnosů, kde váhami jsou pravděpodobnosti. Ale nepředbíhejme.
Pouhý pohled na charakteristiky výrobku B (pravděpodobnosti a výnosy) naznačuje, že se jedná o poměrně agresivní výrobek. Nabízí velmi vysoký výnos 42 % v případě, že výrobek bude velmi úspěšný, ale s pravděpodobností pouze 0,1 (10 %). Naopak pravděpodobnost neúspěchu je poměrně velká (0,5) a výrobek by přinesl ztrátu –6 %.
→ Jak spočítat průměrný roční (anualizovaný) výnos z výnosů ze více období (let)?
Výpočet očekávaného výnosu a rizika u obou výrobků
Očekávaný výnos
Pokusíme se nyní „rozsoudit” výrobky a vybrat výrobek s vyšším očekávaným výnosem. Očekávaný výnos výrobku A = 0,3 ˟ 20 + 0,5 ˟ 12 + 0,2 ˟ (–10) = 6 + 6 + (–2) = 10 %. Zjišťujeme však, že očekávaný výnos výrobku B je rovněž 10 %: 0,1 ˟ 42 + 0,4 ˟ 22 + 0,5 ˟ (–6) = 4 + 9 + (–3) = 10 %. Jsou oba výrobky stejně dobré?
Riziko jako směrodatná odchylka
Zhodnotíme ještě riziko = možnost odchylky od očekávaného výnosu; k tomu slouží poslední tři sloupce tabulky. Riziko můžeme kvantifikovat pomocí pravděpodobnosti a měříme jej směrodatnou odchylkou. Dospějeme k ní a vysvětlíme si ji pomocí následujících tří výrazů.
Výraz xn – E(x)
Výraz říká, jak se odchylují výnosy jednotlivých scénářů od očekávaného výnosu. Například u výrobku A: úspěšný scénář: 20 – 10 = 10, normální: 12 – 10 = 2, neúspěšný: (–10) – 10 = –20.
Výraz [xn – E(x)]2
Předchozí výraz, tj. odchylky od očekávaného výnosu, umocníme na druhou (pokud bychom je nyní sečetli, dostali bychom klasický rozptyl). Proč odchylky umocňujeme? Odpověď zní, aby nedošlo k eliminaci kladných a záporných hodnot.
Představme si, že bychom měli pouze tři hodnoty -1, 0, 1. Střední hodnota je tedy 0 a odchylky jsou: (–1) – 0 = –1, 0 – 0 = 0 a 1 – 0 = 1. Sečteme-li odchylky (–1) + 0 + 1, výsledkem je nula. Rozptyl hodnota kolem střední hodnoty (zde nuly) však není nulový! Proto odchylky nejprve umocníme na druhou, tím se ze záporných odchylek stanou kladné a teprve potom je sečteme: (–1)2 + 02 + 12 = 1 + 0 + 1 = 2, tj. klasický (a skutečný) rozptyl.
Nakonec sumu odchylek, tj. rozptyl, odmocníme a získáme tak směrodatnou odchylku, v tomto případě je druhá odmocnina ze dvou přibližně 1,4142 – právě o tolik se „v průměru” liší všechny hodnoty od střední hodnoty.
Výraz pn[xn – E(x)]2
Umocněné odchylky v předchozím kroku je třeba ještě vynásobit (vážit) pravděpodobnostmi a až teprve poté je sečíst. Získáme tak (vážený) rozptyl a jeho odmocněním (váženou) směrodatnou odchylku, která je hledaným reprezentantem rizika. U výrobku A činí 10,58 %, u výrobku B 16,97 %. Čím větší je směrodatná odchylka, tím vyšší je riziko (odchýlení se od očekávaného výnosu).
→ Tip: očekávanou hodnotu využijeme bohatě také při hodnocení loterijních her.
Vyhodnocení příkladu – výběr výrobku – a závěr
Oba výrobky dosahují stejného očekávaného výnosu 10 %. Na základě kriteria maximálního výnosu proto nemůžeme určit, který z výrobků je výhodnější. Uplatníme proto doplňkového pravidlo, které platí obecně: při stejném výnosu vybereme výrobek (investici) s nižším rizikem. Směrodatná odchylka (riziko) u výrobku A 10,58 % < 16,97 % u výrobku B. Upřednostníme proto výrobu výrobku A před výrobkem B.
Poznámka na závěr: ve světě investic, do kterého patří i výroba produktů, platí, že vyšší výnos obvykle nese vyšší riziko a naopak. Nejsme-li ochotni příliš riskovat, musíme se většinou spokojit s nižším výnosem. Zdali bude investor upřednostňovat vyšší výnos za cenu vyššího rizika, nebo nižší výnos za cenu nižšího rizika – odborně řečeno – záleží na jeho averzi k riziku.
Pro zájemce – určení intervalu, v kterém se bude výnos nacházet
Pomocí směrodatné odchylky, označované řeckým písmenem sigma, a tzv. pravidla „tři sigma” můžeme určit interval, ve kterém se bude pohybovat výnos výrobku s pravděpodobností přibližně 0,68 (68 % případů); 0,95 a 0,99. Dolní interval získáme tak, že od očekávaného výnosu odečteme jedno-, dvoj-, či trojnásobek směrodatné odchylky, horní interval tak, že k očekávanému výnosu přičteme jedno- až trojnásobek směrodatné odchylky.
Proto můžeme říci, že roční procentuální výnos u výrobku A se bude s pravděpodobností 0,68 nacházet v intervalu <10 – 10,58; 10 + 10,58>, tj. <–0,58 %; 20,58 %>.
Očekávaný výnos a riziko při podnikání v angličtině