Hazardní hryPravděpodobnost › Kombinatorika

Kombinatorika srozumitelně a jednoduše

Při vyslovení slova kombinatorika mnohým lidem, hlavně studentům, vstávají hrůzou vlasy na hlavě. Permutace, variace, kombinace, bez opakování, s opakováním, uspořádané, neuspořádané, na pořadí záleží, na pořadí nezáleží… Kdo se v tom má vyznat? Ve skutečnosti to není tak zlé, což si ukážeme na jednoduchých příkladech.

Reklama: Encyklopedie hazardu

V kombinatorice řešíme úlohy typu „kolik existuje uspořádání prvků“, „kolika způsoby lze sestavit například trojice z deseti prvků“ apod. Máme tedy celkový počet prvků, který označujeme písmenem n a počet skupin (či tříd), který označujeme písmenem k. Ve většině případů vytváříme k-tice (dvojice k = 2, trojice k = 3, čtveřice k = 4 atd.) z n prvků.

Vezměme si úplně jednoduchý příklad, kdy máme pouhé dva prvky 1, 2 (jedničku a dvojku). Z nich budeme tvořit dvojice a vysvětlíme si rozdíly mezi variacemi, permutacemi, kombinacemi… ← pod odkazy najdete vzorce a další příklady. Ponecháme je teď ale stranou (stejně jako matematické definice, které najdete v literatuře) a pomůžeme si pouze tím, že všechny dvojice rozepíšeme. Jelikož máme pouze dva prvky, nebude jich mnoho, ale rozdíly budou patrné na první pohled.

Variace

Variace, ať už bez opakování, nebo s opakováním, jsou vždy uspořádané neboli vždy záleží na pořadí prvků.

Variace bez opakování:
1 2
2 1

Variace s opakováním:
1 1
1 2
2 1
2 2

Pokud si prohlédneme dva rozpisy výše, hned vidíme rozdíl mezi variacemi bez opakovánís opakováním. U variací bez opakování je každý prvek zastoupen pouze jedenkrát (nemůže se v řádku našeho rozpisu opakovat), zatímco u variací s opakováním můžeme stejný prvek do výběru zahrnout vícekrát – v 1. řádku se opakuje jednička, ve 4. řádku dvojka. Z toho lze učinit také logický závěr, že variací s opakováním bude více než variací bez opakování.

Příkladem variací s opakováním je například heslo – způsoby zjištění, počty možných variací, doba potřebná k prolomení hesla.

Kombinace vs. variace

Níže následuje rozpis kombinací a můžeme vysledovat rozdíl oproti variacím. U variací vždy záleží na pořadí prvků ve výběru, což je stejné, jako když řekneme, že variace jsou uspořádané. Proto 1 2 a 2 1 jsou dvě různé variace (bez opakování) neboli záleží na pořadí jedničky a dvojky (jsou-li v řádku rozpisu na první, nebo na druhé pozici).

Naproti tomu u kombinací na pořadí nezáleží neboli kombinace jsou neuspořádané k-tice (tyto dvě věty mají stejný matematický význam). Proto 1 2 a 2 1 jsou pouze jedna kombinace – nezáleží na tom, zdali je jednička na prvním, nebo na druhém místě (pořadí). Například máte-li ve hře Oko bere či Black Jack dosáhnout oka (součtu jednadvacet), je jedno, zdali dostanete jako první kartu eso a jako druhou desítku nebo obráceně.

Pikové eso Srdcová desítka nebo Srdcová desítka Pikové eso

Podobně například u číselných loterií nezáleží na tom, v jakém pořadí jsou vítězná čísla tažena. Víte, v které loterii je největší počet všech možných kombinací?

Kombinace bez opakování
1 2 (nebo 2 1)

Kombinace s opakováním
1 1
1 2
(nebo 2 1)
2 2

U kombinací s opakováním stále platí, že nezáleží na pořadí prvků (= jsou neuspořádané), ale jednotlivé prvky se mohou ve výběru (v řádku) opakovat. Opět také platí, že kombinací s opakováním je více než kombinací bez opakování, ale méně než variací s opakováním, protože na rozdíl od nich je 1 2 a 2 1 ve druhém řádku.

Permutace

Permutace jsou pouze zvláštním případem variací, kdy počet prvků ve výběru je roven celkovému počtu prvků (n = k). To znamená, máme-li dva prvky, tvoříme (rozepisujeme) dvojice, máme-li tři prvky, tvoříme trojice atd. Rozpis permutací by byl stejný jako u variací, protože máme dva prvky a rozepisuje (vybíráme) dva prvky (matematicky n = 2 = k).

Kombinatorická pravidla

V kombinatorice se uplatňují dvě kombinatorická pravidla, a sice kombinatorické pravidlo součtukombinatorické pravidlo součinu. Opět se dají vysvětlit jednoduše i bez matematických definic.

Kombinatorické pravidlo součtu

Například máme dvě skupiny (množiny), z nich první má prvky 1, 3 a druhá 5, 6. Kolika způsoby lze vybrat právě jeden prvek z těchto dvou skupin?

Jelikož se obě skupiny nemají ani jeden společný prvek (jazykem matematiky: jsou po dvou disjunktní), můžeme počty prvků v obou skupinách (množinách) sečíst: 2 + 2 = 4. Jeden prvek z obou množin lze vybrat čtyřmi způsoby.

Jestliže by však skupiny měly nějaké prvky společné, je nutné je z celkového součtu vyloučit. Řečeno jazykem matematiky: jde o sjednocení dvou množin a odečet jejich průniku. Příklad: máme dvě skupiny, první má dva prvky 3, 5 a druhá čtyři prvky 1, 5, 6, 7. Skupiny však mají jedno číslo společné (pětku), proto kombinatorické pravidlo součtu uplatníme následovně: 2 + 4 – 1 = 5. Právě jeden prvek z obou skupin lze vybrat pěti způsoby.

Kombinatorické pravidlo součinu

Na kombinatorickém pravidlu součinu také není nic složitého, což lze nejlépe ukázat na příkladech.

Příklad 1: Kolika způsoby lze v pokeru získat nejvyšší možnou kombinaci, tedy královský fleš?

Piková desítka Pikový kluk Piková dáma Pikový král Pikové eso

Řešení: královský fleš je postupka v barvě od desítky do esa. Existuje tedy pouze jeden způsob, jak tuto postupku docílit, ale postupka může mít čtyři různé barvy (piky, kříže, srdce, káry). Užijeme-li kombinatorické pravidlo součinu, královský fleš je možné získat 1 × 4 = 4 způsoby.

Příklad 2: Třikrát po sobě hodíte klasickou hrací kostkou (která má jedno až šest ok či teček). Kolik různých možností (uspořádaných trojic) může vzniknout?

Kostka: 1, Kostka: 2, Kostka: 6

Řešení: při třech hodech jednou kostkou může vždy padnout číslo 1 až 6. Počet možností – různých (uspořádaných) trojic – které mohou vzniknout je tedy 6 × 6 × 6 = 216.

Variace
Permutace
Kombinace
Články o pravděpodobnosti

Reklama: Pravděpodobnost
 
Copyright © 2007–2014 Jindřich Pavelka, Hazardní-Hry.eu – O webu | Reklama | Přístupnost | Podmínky používání | Mapa stránek | EN | FB |