Definice pravděpodobnosti
Existují čtyři základní definice pravděpodobnosti – klasická (Laplaceova), geometrická, statistická a axiomatická.
Základní pojmy
Náhodným pokusem rozumíme takový pokus, jehož výsledek závisí na náhodě a který můžeme za stejných podmínek opakovat libovolně mnohokrát.
Z toho vyplývá, že náhodný pokus musí mít alespoň dva různé výsledky, neboť v opačném případě bychom nemohli tvrdit, že výsledek závisí na náhodě. Současně předpokládáme, že náhodný pokus může mít pouze jeden výsledek.
Výsledek náhodného pokusu nazýváme elementární jev. Množinu S všech elementárních jevů nazýváme základní prostor. Libovolnou podmnožinu A základního prostoru S nazýváme náhodný jev.
Klasická definice pravděpodobnosti
Klasická definice pravděpodobnosti (Laplaceova) vychází ze třech předpokladů, resp. požadavků kladených na náhodný pokus: 1. počet všech možných výsledků je konečný, 2. všechny výsledky jsou stejně možné a 3. všechny výsledky se vzájemně vylučují.
Nechť náhodný pokus se základním prostorem S má konečný počet výsledků n (n je z množiny všech přirozených čísel N) a nechť každý elementární jev má stejnou možnost nastat po vykonání náhodného pokusu. Nechť A je libovolný náhodný jev, tvořený m elementárními jevy. Potom pravděpodobnost P(A) náhodného jevu A definujeme jako podíl:
P(A) = m / n,
kde:
m je počet případů příznivých a
n je počet všech možných případů.
Geometrická definice pravděpodobnosti
Definice geometrické pravděpodobnosti je založena na porovnávání ploch, objemů nebo délek různých geometrických útvarů. Nechť náhodný pokus se základním prostorem S má nekonečně mnoho výsledků a každý z těchto výsledků má stejnou možnost nastat. Potom pravděpodobnost P(A) náhodného jevu A z množiny S definujeme jako podíl:
P(A) = m(A) / m(S),
kde:
m(A) je míra geometrického útvaru, reprezentujícího náhodný jev A a
m(S) je míra geometrického útvaru, reprezentujícího základní prostor S.
Statistická definice pravděpodobnosti
Uvažujeme náhodný pokus P a sledujme náhodný jev A, který může nastat po provedení pokusu P. Zopakujme náhodný pokus P n-krát za stejných podmínek. Nechť m udává, kolikrát v dané sérii pokusů nastal jev A. Tento poměr nazýváme relativní četností. Jestliže s rostoucím počtem opakování pokusu se relativní četnost blíží určitému číslu, potom toto číslo můžeme považovat za statistickou pravděpodobnost daného jevu. Statistickou pravděpodobnost jevu A tak definujeme jako limitu podílu:
P(A) = limn→∞ m / n
Axiomatická definice pravděpodobnosti
Nechť φ je pole náhodných jevů. Libovolnou reálnou množinovou funkci P, definovanou na φ, nazveme pravděpodobností, jestliže platí:
- P(A) ≥ 0
- P(S) = 1
- P(UiAi) i = 1, 2, ... pro každou skupinu po dvou disjunktních náhodných jevů
Poznámka: Axiom (pochází z řeckého slova axióma = to, co se uznává) je tvrzení, které se předem (a priori) pokládá za platné a tudíž se nedokazuje.